OPERASI MATRIKS

OPERASI MATRIKS 

      1.  Penjumlahan Matriks

            Dua matriks dapat dijumlahkan jika ordonya sama. Yang dijumlahkan yaitu elemen-elemen yang seletak. 
 

Sifat-sifat penjumlahan matriks:

1.      A + B = B + A  (bersifat komutatif)

2.      A + (B + C) = (A + B) + C (bersifat asosiatif)

3.      A + O = O + A = A (O matriks identitas dari penjumlahan)

4.      A + (-A) = (-A) + A = O (-A matriks invers penjumlahan)
                          
2. Pengurangan Matriks
 Dua matriks dapat dikurangkan jika ordonya sama. Yang dikurangkan elemen-elemen yang seletak.

Sifat-sifat Pengurangan matriks:

1.      A – B # B – A (tidak komutatif)

2.      A – (B – C) = (A – B) – C (asosiatif)

   

  

  
 3.   Perkalian Matriks

   Perkalian matriks dengan bilangan real (skalar)

      Hasil perkalian skalar k dengan sebuah matriks A yang berordo m x n adalah sebuah matriks yang berordo m x n dengan elemen-elemennya adalah hasil kali skalar k dengan setiap elemen matriks A. 

 Perkalian Matriks Dengan Matriks 
      Dua matriks A dan B dapat dikalikan jika jumlah kolom matriks A (matriks kiri) sama dengan jumlah baris matriks B (matriks kanan).

Ordo hasil perkalian matriks A_mxn dengan B_nxp , misalnya matriks C yang akan berordo mxp (seperti permainan domino)

Cara mengalikan matriks A dan B yaitu dengan menjumlahkan setiap perkalian elemen pada baris matriks A dengan elemen kolom matriks B dan hasilnya diletakkan sesuai dengan baris dan kolom pada matriks C (matriks hasil perkalian).

Sifat-sifat perkalian matriks: /

 1.      Tidak komutatif (AB # BA) 

2.      Asosiatif : (AB)C = A(BC) 

3.      Distributif kiri : A(B + C) = AB + AC 

        Distributif kanan : (B + C)A = BA + CA 

 4.      Identitas : IA = AI = A   

5.     k(AB) = (kA)B  

DETERMINAN MATRIKS

DETERMINAN MATRIKS  
  Determinan matriks A didefinisikan sebagai selisih antara perkalian elemen-elemen pada diagonal utama dengan perkalian elemen-elemen pada diagonal sekunder. Determinan dari matriks A dinotasikan dengan det A atau |A|.

 Nilai dari determinan suatu matriks berupa bilangan real.

a.       Determinan matriks berordo dua
 

Contoh:

 
b.   Determinan matriks berordo tiga - menggunakan aturan Sarrus

 



   

Det A=[A]= 
 a₁₁ . a₁₂ . a₃₃ + a₁₂ . a₂₃ . a₃₁ + a₁₃ . a₂₁ . a₃₂ – a₃₁ . a₂₂ . a₁₃ – a₃₂ . a₂₃ . a₁₁ – a₃₃ . a₂₁ . a₁₂
 







 





det A      =  2.2.3 + 1.1.5 + 4.4.1 - 5.2.4 - 1.1.2 - 3.4.1

       = 12 + 5 + 16 – 40 – 2 – 12

       = -21

2.   Adjoint Matriks

Adjoint yaitu koofaktor yangh di transposekan dan  ditulis dengan Adj (A). Adjoin disingkat Adj.

Adjoint suatu matriks bujur sangkar adalah :

INVERS MATRIKS

Invers Matriks  

1.   Invers Matriks  Ordo 2 x 2

ad-bc disebut Determinan (D) atau [A] atau det(A).
ad – bc disebut Determinan (D) atau  atau det(A). 
Jadi .

Jika D = 0, maka matriks A tidak mempunyai invers dan matriks A disebut matriks Singular. Jika ad – bc  maka matriks A disebut matriks Non Singular.

2.   Invers Matriks Ordo 3 x 3

Determinan Matriks Ordo 3 x 3

Cara menentukan determinan matriks ordo 3 x 3 dengan menggunakan diagram SARRUS, yaitu:

1.      Salin kolom ke-1 dan ke-2 pada kolom ke-4 dan ke-5

2.      Kurangkan jumlah perkalian elemen-elemen pada diagonal   ke bawah dengan jumlah perkalian elemen-elemen pada diagonal ke atas.

 

Minor, Koofaktor Dan Adjoint         

    Minor yaitu sebuah determinan yang diperoleh dengan cara menghilangkan baris ke-i dan kolom ke-j, dan ditulis dengan A_ij. Sedangkan koofaktor diperoleh dari perkalian.

M_ij  dengan  (-1)^ixj dan ditulis dengan A_ij . Sedangkan adjoint yaitu koofaktor yang ditransposekan dan ditulis dengan Adj(A).

Untuk menentukan invers matriks A ordo 3 x 3 dengan menggunakan rumus :

     Jadi D = [A] = det(A) = ad -bc.

Jika D = 0, maka matriks A tidak mempunyai invers dan matriks A disebut matriks Singular. Jika ad – bc #  0 maka matriks A disebut matriks Non Singular.

JENIS-JENIS MATRIKS

JENIS-JENIS MATRIKS
1. Matriks Nol

Yaitu matriks yang setiap elemennya nol.

2.  Matriks Baris
    Yaitu matriks yang hanya mempunyai satu baris

3.  Matriks Kolom

     Yaitu matriks yang hanya mempunyai satu kolom.

4.   Matriks Bujur sangkar/Matriks Persegi
    Yaitu suatu matriks yang jumlah baris dan kolomnya sama. Ordo matriks n x n sering disingkat dengan n saja.

 5.   Matriks Diagonal

      Yaitu matriks persegi yang semua elemennya nol, kecuali elemen-elemen diagonal utamanya.

6.   Matriks Satuan /MatriksIdentitas (I)

     Yaitu matriks persegi yang semua elemen diagonal utamanya satu, dan elemen lainnya nol.
  

 7.   Matriks Skalar

       Yaitu matriks persegi yang semua elemen pada diagonal utamanya sama, tetapi bukan nol dan semua elemen lainnya nol.

8.   Matriks Segitiga Atas

      Yaitu matriks yang semua elemen di bawah diagonal utamanya nol.

9.   Matriks Segitiga Bawah

      Yaitu matriks yang semua elemen di atas diagonal utamanya nol.

 10.  Matriks Koefisien
 Yaitu matriks yang semua elemennya merupakan koefisien-keofisien dari suatu sistem persamaan linear.  
Contoh1:  
  Matriks koefisien dari sistem persamaan liniear  2x + 3y =7   adalah : 

ORDO MATRIKS

ORDO MATRIKS

Ordo matriks yaitu banyaknya baris dan kolom yang menyatakan suatu matriks.

A_mxn artinya matriks A berordo m x n yaitu banyaknya baris m buah dan banyaknya kolom n buah.

   

 Tentukan ordo matriks P dan Q

Jawab: Ordo matriks P =   2 x 4 atau P _{2 x3}        
              Ordo matriks Q =   3 x 2 atau Q_{2 x3}

MATRIKS

1. Metrika adalah kumpulan bilangan berbentuk persegi panjang yang disusun menurut baris dan kolom. Bilangan-bilangan yang terdapat di suatu matriks disebut dengan elemen atau anggota matriks.  Dengan representasi matriks, perhitungan dapat dilakukan dengan lebih terstruktur. Pemanfaatannya misalnya dalam menjelaskan persamaan linier, transformasi koordinat, dan lainnya. Matriks seperti halnya variabel biasa dapat dikalkulasi, seperti dikalikan, dijumlah, dikurangkan dan didekomposisikan.
   
    
    ORDO 
   Ordo suatu matriks adalah bilangan yang menunjukkan banyaknya baris (m) dan banyaknya kolom (n).  Matriks di atas berordo 2x3.

2. 
   MATRIKS TRANSPOS
   
   
   

   Matriks transpose adalah matriks yang mengalami pertukaran elemen dari baris menjadi kolom dan sebaliknya.
   
   CONTOHmaka matriks transposenya (A^t) adalah
   

   
   

   
3. KESAMAAN MATRIKS

   
   
   

   Dua matriks A dan B dikatakan sama (ditulis A = B), jika a. Ordonya sama
   b. Elemen-elemen yang seletak sama 
   
   Contoh:
   
   
   
   Tentukan nilai 2x-y+5z!
   
   Jawab:

    maka 

    maka 

    maka 

   
   

   

   

   

   
   Penjumlahan dan pengurangan matriks
   

   Penjumlahan dan pengurangan matriks hanya dapat dilakukan apabila kedua matriks memiliki ukuran atau ordo yang sama. Elemen-elemen yang dijumlahkan atau dikurangi adalah elemen yang posisi atau letaknya sama.

    
   

   atau dalam representasi dekoratfinya

   
   

   
   
   
   
   

   
4. Perkalian Skalar
   

   
   

   Matriks dapat dikalikan dengan sebuah skalar.

    
   

   Contoh perhitungan :

   

   
   

   Perkalian matriks
   

   Matriks dapat dikalikan, dengan cara tiap baris dikalikan dengan tiap kolom, lalu dijumlahkan pada baris yang sama. Namun dengan syarat, dua matriks A dan B terdefinisi untuk dikalikan, jikabanyaknya kolom A = banyaknya baris B, dengan hasil suatu matriks C yang berukuran (memiliki ordo) baris A x kolom B.Jika syarat tersebut tidak dipenuhi (jumlah kolom matriks A tidak sama dengan jumlah bari matriks B) maka kedua matriks tersebut tidak dapat dikalikan.

   
   
   

   A _{m x n} x B _{n x p} = C _{m x p}

   
   
   

   
   (jumlah kolom matriks A sama dengan jumlah baris kolom B yaitu n)

   

   Contoh perhitungan : 
   
   diatas adalah matriks 2x3 dikali matriks 3x2 yang hasilnya adalah matriks 2x2. 
   
   
   Ket :
   perkalian matriks bersifat tidak komutatif (AxB tidak sama dengan BxA) tetapi bersifat asosiatif(AxB)xC = Ax(BxC).

   MATRIKS SATUAN
   
   

   Matriks satuan adalah suatu matriks bujur sangkar, yang semua elemen diagonal utamanya adalah 1, sedangkan elemen lainya adalah 0.
   Notasi : I (Identitas)
   
   
   
   SIFAT AI = IA = A

5. DETERMINAN MATRIKS
   

   
   MATRIKS ORDO 2X2
   
   Misalkan:
   
   
   maka Determinan A (ditulis  ) adalah:
   
   
   
   
   MATRIKS ORDO 3X3
   CARA SARRUS
   
   Misalkan:
   
   Jika
   
    maka tentukan !
   
   
   
   
   Penghitungan matriks dilakukan dengan cara menambahkan elemen dari kiri atas ke kanan bawah (mulai dari a → e → i, b → f → g, dan c → d → h) lalu dikurangi dengan elemen dari kanan atas ke kiri bawah (mulai dari c → e → g, a → f → h, dan b → d → i) sehingga menjadi:
   

   
   

   
   Contoh:
   
    maka tentukan !
   
   
   
   

   

   
   CARA EKSPANSI BARIS KOLOMMisalkan:
   
   
   maka tentukan  dengan ekspansi baris pertama!
   
   
   

6. MATRIKS SINGULAR 
   

   
   Matriks singular adalah matriks yang nilai determinannya 0.
   
   Contoh:
   
   
   
   Jika A matriks singular, tentukan nilai x!
   
   Jawab:
   

   

   

    vs 

   
   MATRIKS INVERSMisalkan:maka inversnya adalah:
   

   • Bilangan (ad-bc) disebut determinan dari matriks A
   • Matriks A mempunyai invers jika Determinan A ¹ 0 dan disebut matriks non singular.

   Sifat-Sifat
   1. (A^t)^t = A
   2. (A + B)^t = A^t + B^t
   3. (A . B)^t = B^t . A^t
   4. (A . B)^-1 = B^-1 . A^-15. A . A^-1 = A^-1 . A = I
   Persamaan matriks 
   Tentukan X matriks dari persamaan:
   

   • Jika diketahui matriks A.X=B

   

   

   

   

   • Jika diketahui matriks X.A=B